可乐数学按：这篇文章是6年前的了，现在新的《爱丽丝漫游仙境》正在热播。作为影迷们，无疑应该了解《爱丽丝漫游仙境》中所包含的一些数学寓意。温故而知新，我们来看看背后的数学吧。
正如詹姆斯-卡梅隆(James Cameron)创造历史的巨制《阿凡达》(Avatar)一样，蒂姆-波顿(Tim Burton)的《爱丽丝漫游仙境》(Tim Burton's Alice in Wonderland)也以3D的形式上映。同样与《阿凡达》一样，观众们也在体验故事情节的同时，也会被影片中的令人瞠目结舌的特效所惊呆。无数人喜爱卡梅隆的这部科幻史诗，但也有些人认为尽管故事情节还算不错，但影片的结局让人觉得有些无趣甚至是平庸，至于《爱丽丝漫游仙境》是否也会让你有同样的感觉？也许看了这篇文章，你会有自己的想法。
对于数学家来说，不管波顿这部电影是否卖座，影片中蕴含的数学寓意也无法决定性地将它推向好莱坞顶尖制作的位置！但作为影迷们，无疑应该了解《爱丽丝漫游仙境》中所包含的一些数学寓意。也许很多人并不知道，刘易斯-卡罗尔(Lewis Carroll)只是牛津会学院(Christ Church College)数学家查尔斯-勒特威奇-道奇森(Charles Lutwidge Dodgson)的笔名。很多数学家都知道《爱丽丝漫游仙境》故事中很多元素都是在向数学致敬。(至少，许多人都做出过一些有原因的假设，但道奇森自己对此并没有评论)
在进入正题之前，有一件事需要说明的是最新的这部“爱丽丝”电影并不是基于刘易斯-卡罗尔(Lewis Carroll)的原著小说改编。(事实上，我们小时候有关于爱丽丝的记忆都来自于两本书：《爱丽丝漫游仙境》(Alice in Wonderland)和《爱丽丝镜中游》(Alice Through the Looking Glass))然而，波顿制作这部影片的灵感来源于一部名为《爱丽丝梦游魔境》(American McGee's Alice)的游戏。在这部电影中，已成年的爱丽丝是一个刚失去父母的年轻女人，她回到我们在刘易斯-卡罗尔原著小说中熟悉的土地、一个十分奇怪的地方。在那里动物能够开口讲话、柴郡猫咧着嘴傻笑、红心皇后异常邪恶。(她真的是红心皇后吗？卡罗尔的两本小说都有不同的皇后，也许年代太久远，很多人都将她们混淆了)
，如马丁-加德纳(Martin Gardner)。他的《注释版爱丽丝》(The Annotated Alice)在1960年出版，此后在1990年又出版了续集《关于爱丽丝的更多内容》(More Annotated Alice)。但第一个将“爱丽丝”向数学方向深度研究的学者也许是威斯康辛大学密尔沃基分校的艾琳娜(Helena Pycior)。她在1984年第一次将红桃杰克(Knave of Hearts)与维多利亚时代的代数学书联系起来。而现在英国牛津大学的梅拉妮-贝利(Melanie Bayley)则将这一研究继续向前推进。她将自己的发现描述为“爱丽丝的代数冒险”，并写下了一篇名为《解释仙境》(Wonderland solved)的文章刊登在09年12月16日发行的《新科学家》(New Scientist)上。
在介绍贝利的研究前，先让我们回顾一下卡罗尔的《爱丽丝漫游仙境》的历史。1862年，道奇森与牧师罗宾逊-达克沃斯(Robinson Duckworth)和三个年轻女孩一起在泰晤士河上坐船。旅行从牛津附近的Folly Bridge桥开始，在歌德斯托(Godstow)村5英里外结束。在途中，道奇森给这三个小姑娘讲述了小爱丽丝掉进兔子洞后展开一段冒险奇遇的故事。这三个孩子非常喜欢这个故事。一名名叫爱丽丝的女孩请求道格森将其写下。于是两年后，道格森真的这样做了。在1864年11月26日他将这份称为《爱丽丝地下奇遇记》(Alice's Adventures Under Ground)的手稿送给了爱丽丝。
故事的很多内容都设定在牛津大学的建筑物和堂中。例如，爱丽丝冒险开始掉落的“兔子洞”实际上就象征着学院主大厅的楼梯。
一年后，道奇森以刘易斯-卡罗尔这一笔名将原故事扩充后出版了一部名为《爱丽丝梦游仙境》的小说，并由约翰-坦尼尔(John Tenniel)绘制插图。正是在他补充的这些新内容：包括柴郡猫、审判、公爵夫人的孩子、和帽匠的茶话会中，我们找到数学典故。 这部小说很快就成了畅销书，自它面世后便被无数次重印，并被翻译成超过100种语言。
而究竟哪些内容灵感真正来源于数学呢？现在让我们进入数学部分。
首先我们需要先了解在十九世纪后期数学领域发生了什么事情，因为这是道奇森写作的年代。对于数学界来说，这是一个混乱的时期，这门学科很快地变得十分抽象。非欧几何的发现、抽象(符号)代数的发展并没有跟几何和代数挂钩，并且渐渐地接受(或者至少是使用)“虚数”仅仅是震动其核心规律的部分进展。从各方面来看，道奇森拥有一个植根并接近于欧几里得原理的非常传统的数学理念。(他不是一名研究类型的数学家，只是整天对着这门学科罢了)。贝利称他是一个“倔强而又保守的数学家”。在降低严密的标准后，他被自己所看到的震惊了。道奇森往爱丽丝故事中增加的新材料对于这些新的发展来说是极大的讽刺。也许最明显的例子就是总是咧着嘴笑的柴郡猫，它代表了规律中抽象的增长。
一个更值得注意的例子，在“毛毛虫的建议”这部分中，爱丽丝掉进了一个兔子洞，吃了一块让她缩小到只有3英尺高的蛋糕。毛毛虫抽着一个水烟管到来，告诉爱丽丝有一些蘑菇能够让她恢复到正常大小。但一种蘑菇吃了会让她的脖子伸长，另一些吃了会缩小她的躯干，因此她必须选择适量的蘑菇来吃才能恢复适当的大小和比例。贝利相信这表现了道格森认为符号代数荒谬这一观点。
她认为，首要的线索也许是水烟管。“Hookah”这个词语来源于阿拉伯语，在道奇森的时代被广泛地应用在数学交流方面，是“恢复和减少”的意思，这很准确地描述了爱丽丝的遭遇。 蘑菇带给爱丽丝“恢复”：她需要吃的或者喝的东西来让她回到正常的身材大小。当她吃了蘑菇后，“缩小”是发生在她身上的反应：她缩小的如此之快以至于下巴都碰到了脚。
贝利认为，在仙境出现的所有疯狂的事物都反映了道奇森认为新符号代数危险的观点。爱丽丝从一个合理的世界来到了一个甚至连数字都不正常的地方。在走廊里，她试图要记起乘法表，但它们并不使用自己以前学过的十个数字的系统。
在毛毛虫这一场景中，爱丽丝的身高在9英寸到3英尺之间波动。传统算术约束下一个数量，如大小应该是恒定的。爱丽丝发现了这个问题，她抱怨到：“在一天里身材忽大忽小实在是让人困惑”，但居住在这个荒诞世界中的毛毛虫则告诉她不是这样的。
在这一幕结尾时毛毛虫的警告也许是对道奇森保守数学的最有说服力的线索，贝利建议道。“不要发火”(Keep your temper)毛毛虫说道。爱丽丝以为它只是让自己不要生气，尽管她已经表示自己对此并没有特别烦躁。但“Temper”这个单词还有另一层意思：“性质混合的协调”。因此毛毛虫很可能是告诉爱丽丝，无论她的尺寸如何都要保持身体正常。这是道奇森对欧几里得几何学另一个热爱的表示。在这里，绝对值并没有什么关系：重要的是相对于另一个长度的比率。为了在仙境中生存，爱丽丝必须表现得像是一个欧几里得几何者，保持自己的比例常数，即使要让自己的身形尺寸改变。
当然，她没有这么做。她吞下了一个蘑菇后，不出所料她的脖子长的像一条蛇，最后她吃了另一边的蘑菇来平衡自己的体型。这是下一章《猪和胡椒》(Pig and Pepper)的重要的开始。在下一章中，道奇森恶搞了另一个类型的几何学。至此，爱丽丝恢复到了正常的大小和体型，但她缩小了自己的身体进入一间小房子中。在那里，她发现公爵夫人在厨房中照料护理她的孩子，她的厨师做饭时加了很多的胡椒到汤里面，除了柴郡猫外每个人都狂打喷嚏。当公爵夫人把孩子交给爱丽丝时，孩子变成了一头猪。
根据贝利所述，这一场景的目的是为了表达投影几何学，一门道奇森认为其涉及的概念、特别是“连续性原则”非常荒谬的学科。概括的说，这一学科是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。道奇森用连续性原则将孩子变成了一只猪。重要的是，孩子保留了大部分原有的功能，就像任何通过连续性转变的物体一样。他的四肢仍然像海星一样伸出，只是形状很奇怪：朝天的鼻子、小眼睛。在他打了个喷嚏后，爱丽丝只是意识到他改变了。
贝利表示，婴儿整个过程的不适以及公爵夫人赤裸裸的暴力，都显示了道奇森对“现代”射影几何学极度的不信任。在《猪和胡椒》场景中，每个人的都没有尽到自己的职责。公爵夫人是个糟糕的贵族和可怕的坏母亲；厨师让整个厨房充满浓烟，最后还抛掉了锅、板。
对这些奇怪的变化感到愤怒的爱丽丝离开了公爵夫人的房子，来到了疯帽匠的茶话会上。贝利猜测，这探讨了爱尔兰数学家威廉-罗恩-哈密尔顿(William Rowan Hamilton)的工作。他在《爱丽丝漫游仙境》出版后不久的1865年去世。汉密尔顿在1843年发现的四元法被称作是一个抽象代数的一个重要里程碑，因为这种方法可以用代数的方式来处理转动问题。
正如复数有两个条件一样，四元属于拥有四个条件的数字系统。汉密尔顿花费数年时间来处理拥有三个条件的系统(每一个代表一个空间维度)，但只能使他们在一个平面上转动。当他将第四个补充进来后，他得到了自己想要的三维旋转。但他也遇到了麻烦就是如何将这一额外条件的表示概念化。就像大多数维多利亚时代的科学家一样，他假设这个条件意味着什么，所以他在1853年出版的《四元数讲义》序言中他增加了一段注脚：“这对我来说似乎是(并且仍似乎是)连接着额外空间(extra-spatial)部分和时间概念的本位。”
正如贝利指出，汉密尔顿的数学和疯帽子的茶话会的相似之处是不可思议的。爱丽丝与三个奇怪的角色在同一桌子旁：帽匠、三月兔(March Hare)和睡鼠(Dormouse)。与帽匠走散的角色“时间”(Time)缺席了茶话会。因为愤怒，他不让帽匠将时钟走到六点以后。读到这个场景再加上考虑了汉密尔顿的思想，帽匠的茶会成员代表四元数中的三元，其中最重要的第四元、时间却缺失了。没有“时间”，这些角色在茶桌旁不知所措，不停地寻找干净的杯子和碗碟。他们围着桌子运动再现了汉密尔顿的早期尝试的计算行为，再加入时间这一条件前它被限制在一个平面上。即使爱丽丝加入了茶话会，她也不能阻止帽匠、兔子和睡鼠在桌子边的活动，因为她并不是像时间那样一个额外的空间。
这一场景中，帽匠的荒谬谜题“为什么乌鸦像一张写字台？”可以更具体的理解为是纯粹时间理论。在纯粹时间领域中，汉密尔顿称，原因和影响已不再相联系。而帽匠无法回答这一的问题也许正反映了一理论。
爱丽丝的随后试图解决谜题则嘲弄了四元数的另一个方面。这一点让道奇森也认为是荒谬的：他们的乘法是非交换的(non-commutative)。爱丽丝的回答也同样是非交换的。当三月兔告诉她“说出她的意思”，她回答说道她是这么做的，“至少我的意思是我说的，这是同一个意思”。“不是完全是一回事！”帽匠说到。 “为什么，你或许也同样可以说‘我看到我吃的东西’与‘我吃我看到的’是同一个意思！”
当这个场景结束后，帽匠和三月兔试图把睡鼠放进茶壶里。这可能是他们通往自由的途径。如果没有了睡兔，他们就可以独立存在，就像一个有两个元的复数。根据道奇森的想法，虽然仍旧疯狂，但总好过他们无止境地绕着桌子旋转。
后话
当道奇森嘲笑某些事物时，他非常风趣，贝利解释道。然后也只有数学问题能将他真正激怒。在数学证明方面，他写了两大本有趣的册子，来嘲笑牛津大学风格的改变。相比之下，除了《爱丽丝》系列，他写的其他故事就有些呆板了
贝利声称：“我敢说，如果没有道奇森这么猛烈地讽刺他的同僚，《爱丽丝漫游仙境》绝不会这么有名，刘易斯-卡罗尔也不会被看作是一名无与伦比的荒谬题材大师被人们所记住。”
文章来源：http://www.sina.com.cn 2010年04月03日04:27 新浪娱乐
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